Σελίδα Μαθήματος : Ειδικά Μαθηματικά

Επιδιωκόμενα μαθησιακά αποτελέσματα του μαθήματος
Στο τέλος αυτού του μαθήματος ο φοιτητής θα μπορεί να
1. Να μπορεί να αναγνωρίσει την τάξη, τον βαθμό, την γραμμικότητα ή μη, την ομοιογένεια και τον τύπο της διαφορικής εξίσωσης με μερικές παραγώγους.
2. Να μπορεί να επιλέξει την κατάλληλη μεθοδολογία για την επίλυση των γραμμικών και μη γραμμικών ΜΔΕ.
3. Να μπορεί να επιλέξει την κατάλληλη μεθοδολογία για την επίλυση των ελλειπτικών, υπερβολικών και παραβολικών ΜΔΕ.
4. Να μπορεί να επιλύει τις ΜΔΕ σε σύστημα καρτεσιανών, πολικών, κυλινδρικών και σφαιρικών συντεταγμένων. Να μπορεί να εφαρμόσει την μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών, την μέθοδο των ιδιοσυναρτήσεων και των ολοκληρωτικών μετασχηματισμών.
5. Να είναι σε θέση να εκφράσει ένα φυσικό πρόβλημα σε μαθηματικό και να επιλέγει την κατάλληλη μέθοδο επίλυσης, αξιολογώντας και ερμηνεύοντας τα αποτελέσματα των υπολογισμών.
6. Να μπορεί να αναπτύξει μια συνάρτηση σε σειρά Fourier και να μπορεί να εφαρμόζει τους ολοκληρωτικούς μετασχηματισμούς Fourier.
7. Να μπορεί να χρησιμοποιεί τις γνώσεις του για την επίλυση προβλημάτων μηχανικής, ηλεκτρισμού, μηχανικής των ρευστών, κβαντομηχανικής, διάδοσης θερμότητας, κ.λπ.
8. Να μπορεί να παραγωγίσει ή να ολοκληρώσει μια μιγαδική συνάρτηση.
9. Να μπορεί να αναπτύξει μια μιγαδική συνάρτηση σε σειρά.
10. Να μπορεί να επιλύσει φυσικά προβλήματα με τη σύμμορφη απεικόνιση.

Δεξιότητες
Στο τέλος αυτού του μαθήματος ο φοιτητής θα έχει περαιτέρω αναπτύξει τις ακόλουθες δεξιότητες
1. Ικανότητα να επιδεικνύει γνώση και κατανόηση των ουσιωδών δεδομένων, εννοιών, αρχών και θεωριών που σχετίζονται με τις έννοιες των ΜΔΕ. Σειρών Fourier και Μιγαδικών Αριθμών
2. Ικανότητα να εφαρμόζει αυτή τη γνώση και κατανόηση στη λύση ποιοτικών και ποσοτικών προβλημάτων μη οικείας φύσης.
3. Ικανότητα να υιοθετεί και να εφαρμόζει μεθοδολογία στη λύση μη οικείων προβλημάτων.
4. Δεξιότητες μελέτης που χρειάζονται για τη συνεχή επαγγελματική ανάπτυξη.
5. Ικανότητα να αλληλεπιδρά με άλλους σε προβλήματα φυσικής ή διεπιστημονικής φύσης.

Προαπαιτήσεις
Δεν υπάρχουν προαπαιτούμενα μαθήματα. Οι φοιτητές πρέπει να έχουν τουλάχιστον βασική γνώση Γενικών (Ανώτερων) Μαθηματικών και Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων.

Περιεχόμενα (ύλη) του μαθήματος
Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις – Σειρές Fourier – Ολοκλήρωμα Fourier – Μετασχηματισμός Fourier – Μιγαδική Ανάλυση :
1. Εισαγωγικές έννοιες.
2. Το μονοδιάστατο κύμα.
3. Εγκάρσια ταλάντωση ελαστικού νήματος.
4. Ροή θερμότητας σε δοθείσα διεύθυνση.
5. Εξίσωση της συνέχειας.
6. Η μέθοδος χωρισμού των μεταβλητών. Εφαρμογές.
7. Η κυματική εξίσωση σε πολικές και σφαιρικές συντεταγμένες.
8. Το πρόβλημα των ιδιοτιμών Ly=λy. Θεωρία Sturm-Liouville.
9. Η εξίσωση του Laplace σε καρτεσιανές, πολικές, κυλινδρικές και σφαιρικές.συντεταγμένες. Το πρόβλημα του Dirichlet.
10. Το ολοκλήρωμα Fourier. Εφαρμογές.
11. Διάδοση κύματος κατά μήκος ελαστικής χορδής απείρου μήκους.
12. Η εξίσωση Poisson - Helmholtz.
13. Μετασχηματισμοί Fourier.
14. Μιγαδικοί αριθμοί.
15. Μιγαδικές συναρτήσεις.
16. Παραγώγιση μιγαδικής συνάρτησης.
17. Μιγαδική ολοκλήρωση.
18. Οι ολοκληρωτικοί τύποι του Cauchy και σχετικά θεωρήματα.
19. Σειρές Taylor-Laurent και ολοκληρωτικά υπόλοιπα.
20. Σύμμορφη απεικόνιση.
 

Διδακτικές και μαθησιακές μέθοδοι
Παραδόσεις με χρήση διαφανειών ή/και παρουσιάσεις με powerpoint, φροντιστήρια με υποδειγματική επίλυση προβλημάτων σύνθεσης

Μέθοδοι αξιολόγησης/βαθμολόγησης
Γραπτή εξέταση (100% του τελικού βαθμού)

Γλώσσα διδασκαλίας
Ελληνικά. Μπορούν όμως να γίνουν οι παραδόσεις στην αγγλική γλώσσα στην περίπτωση που αλλοδαποί φοιτητές παρακολουθούν το πρόγραμμα.